SFERNA TRIGONOMETRIJA

Zlatan Gavrilović Kovač

Kao što je poznato, astronomija, geografija i geodezija morale su ispunjavati važne religijske

zadatke u islamskom svijetu: kalendar, ovisno o kretanju Mjeseca,

morali su predviđati astronomi, za što su morali znati datum

prve vidljivosti polumjeseca nakon mladog mjeseca. Vrijeme pet dnevnih

molitvi ovisilo je o položaju sunca i, stoga, ovisilo je i o

odgovarajućim geografskim koordinatama. Štoviše, bilo je potrebno točno odrediti

smjer molitve prema Meki, poznat kao kibla ili qibla, za

svako naseljeno mjesto. Smjer je dalje označavan sunčanim satovima i

u svakoj džamiji.

Do 800. godine u Bagdadu su već bila poznata aleksandrijska i indijska djela o astronomiji

koja su se bavila trigonometrijskim metodama . Stoga je

postojala prilika usporediti odgovarajuća djela Hiparha,

Ptolomeja i Menelaja s polukordnom trigonometrijom razvijenom u Indiji

od 6. stoljeća Na početku arapske trigonometrije ponovno nalazimo

al-Hwarizmija, koji je sastavio tablicu sinusa uključujući objašnjenja.

Grčka akordna trigonometrija sve je više bila potisnuta sinusnom trigonometrijom.

Muslimani su proširili dvije osnovne trigonometrijske funkcije koje su predložili

Indijci, sinus i kosinus, na šest takvih funkcija. Tangenta i kotangens

razvijeni su prvo pri proučavanju sjene koju bacaju sunčani satovi: tangenta kao

odnos duljine sjene standardiziranog stupa postavljenog vodoravno

na zid, kotangens kao sjena gnomona (vertikalni stup na vodoravnom

tlu). Od kraja 10. stoljeća bila je poznata mogućnost korištenja

radijusa kruga kao jedinice duljine tako da se sve funkcije mogu promatrati kao omjeri

dužnih odsječaka. Uskoro su se korišteni i za druge probleme. Osim toga, postojali su sekans i kosekans (omjeri hipotenuze i susjedne ili suprotne katete u pravokutnom trokutu). Za sve te funkcije trebalo je izračunati tablice, a odnose među njima istražiti.

Na primjer, za al-Habashisa se kaže da je u 9. stoljeću konfigurirao tablice za neke od novih osnovnih funkcija. Gotovo svi astronomi na islamskom području sastavili su astronomske, trigonometrijske priručnike, poznate kao 'zige'. Matematičari i astronomi proveli su puno vremena tijekom stoljeća radeći na takvim izračunima, uključujući poboljšanje potrebnih metoda (uz interpolaciju prvog stupnja, postoje i primjeri drugog stupnja). Time su zadržali – baš kao što je to učinio Ptolomej – seksagesimalni sustav, koji seže do Babilonaca i podjele kruga na 360°. U Abū’l-Wafāovom djelu ‘zig almagisti’ iz 10. stoljeća, možemo, na primjer, pronaći sljedeću formulaciju za teoreme zbrajanja i oduzimanja

u vezi sa sinusnom funkcijom :

„Izračun sinusa zbroja dva luka i sinusa njihove

razlike kada je svaki od njih poznat. Pomnožimo sinus svakog od njih s kosinusom drugog, izraženim u šezdesetinama, i zbrojimo

dva produkta ako želimo sinus zbroja dva luka, ali uzmemo

razliku ako želimo sinus njihove razlike.“

Islamski matematičari također su uveli trigonometrijske funkcije u

sferiku. Na primjer, sinusni zakon za sferne trokute bio je poznat u

10. stoljeću: omjer sinusa dviju stranica jednak je omjeru

sinusa njihovih suprotnih kutova u sfernom trokutu.

Nas.ı̄r al-Dı̄n at.-Tūsı̄, kojeg je A. P. Juschkewitsch

nazvao najznačajnijim orijentalnim znanstvenikom u području trigono-

metrije i za kojeg je mongolski vladar Hūlāgū Khan izgradio opservatorij u

Maraghi u Perziji, sustavno je ispitao primjenu sinusnog zakona za sve moguće slučajeve ravninskih trokuta.

Sastavio je prvi neovisni traktat o trigonometriji: 'Knjiga o

potpunom četverokutu'. Menelajev teorem, koji se odnosi na ovu figuru,

već je bio konzultiran za izračune trokuta od strane islamskih astronoma vrlo

rano. At.-Tūsı̄ bavio se sfernim trokutima sa i bez ovog teorema,

dok je sinusni teorem već bio poznat njegovim prethodnicima. Muslimanska

astronomija i trigonometrija dosegle su svoj vrhunac u 15. stoljeću u

poznatom, izvrsno opremljenom Ulugh Begovom opservatoriju u Samarkandu.Domišljati al-Kāshı̄ radio je tamo, koristeći pametnu metodu iteracije

kako bi izračunao sinus od 1◦ s velikom točnošću pomoću

jednadžbe za trisekciju kuta. U osnovi, postupio je na sljedeći način:

Budući da sin 3◦ možemo odrediti koliko god točno želimo (možemo ga konstruirati pomoću

šestara i ravnala koristeći razliku od 36◦ na peterokutu

i 30◦ na šesterokutu), primijenio je jednadžbu za trisekciju kuta:

sin 3α = 3sin α − 4sin3 α.

(Ovu formulu prvi put susrećemo u ovom točnom tekstu u Vietinom

djelu krajem 16. stoljeća.) Ona je tipa x3 + q = px. (Prijašnja

klasifikacija pretpostavljala je da su koeficijenti pozitivni – ovdje: p = 34, q = 14 sin 3◦.)

Al-Káší̄ je izračunao da je prva aproksimacija x1 = pq pomoću x =3q+x3p1≈ pq. To vodi do druge aproksimacije x2 = q+x, itd. To,p

zauzvrat, ukazuje na posebnu značajku sposobnosti dobivanja daljnjeg točnog

seksagesimalnog broja sa svakim korakom Pretvoren u decimalni

sustav, al-Kášíjev rezultat daje 18 decimala:

sin1◦ = 0.017 452 406 437 283 571.

Naravno mi ne možemo sada tako stručno I opsežno razmatrati ove probleme. Jedan dio te povijesti I te geometrijske problematike kada je riječ o muslimanskom matematičarima mi smo već spominjali u prvom volumenu naše Kozmologija zlatnoga prstena

Ovaj izbor geometrije islamske matematike nije sužen samo zbog ograničenog prostora prve knjige. Velik broj nepročitanih arapskih rukopisa nalazi se u orijentalnim knjižnicama, zbog čega istraživači još nisu uspjeli dobiti potpuniju sliku razvoja i stečenog znanja. Budućnost bi ovdje mogla donijeti neka velika iznenađenja.

NEKI OSNOVNI POJMOVI

Sferna trigonometrija je trigonometrija sfernoga trokuta odnosno geometrija zavisnosti između stranica I kutova sfernoga trokuta. Za razliku od obične trigonometrije ravnine u sfernoj trigonometriji tri kuta trokuta jednoznačno određuju njegov oblik I dimenzije

Geometrija sfere- Geodezijska linija je prava linija plohe čija je geodezijska krivina u svakoj njenoj točki jednaka nuli. Dovoljno mali lukovi geodezijske linije najkraći su putevi te plohe između svojih krajnjih točaka. Tako geodezijske linije na plohi igraju istu ulogu kao prave linije u ravnini. Geodezijske linije na cilindru na primjer su linije zavrtanja a na kugli su veliki krugovi

Geodezijske linije sfere- Presječemo li kuglu ravninom kroz njeno središte, na plohi kugle ili sfere dobijamo glavnu kružnicu čiji radijus jest jednak radijusu sfere. To je velika kružnica date sfere. Kroz proizvoljne dvije točke A I B na kugli, s izuzetkom dijametralnih, možemo povući jednu veliku kružnicu . Njen manji luk AB je najkraća linija na kugli odnosno sferi koja spaja te točke. Zovemo je geodezijska linija na kugli I na kugli ima istu ulogu kao prava linija u ravnini.

MJERENJE

Dužina luka glavne kružnice sa centralnim kutom (u radijanima), jednaka je gde je radijus sfere (sl. 2. ). Za jednu istu sferu prikladno je za jedinicu mjerenja luka uzeti radijus Tada je U narednim formulama primejnjena je ta mjerna jedinica

Sferni trokut

Tri velike kružnice na sferi određuju nekoliko sfernih trokuta . Od njih posmatramo onaj kome svaka od tri stranice ima centralni kut velike kružnice manji od 180°, odnosno kome je svaki od unutrašnjih kutova manji od 180°.

Osnovne osobine sfernog trokuta

Zbroj A+B+C unutrašnjih trokuta sfernog trokuta uvijek je veći od 180°. Razliku (A+B+C)-π=δ, mjerenu u radijanima , nazivamo sferni eksces datog sfernog trokuta. Površina sfernog trokuta dvokuta Površina sfernog trokuta je , gdje je R radijus lopte, a δ je sferni eksces. Površina sfernog dvokuta koji čine dva luka glavnih kružnica je gdje je kut A izražen u radijanima

Rješavanje sfernih trokuta

Naspram nalaze se lukovi, stranice sfernog trokuta . U tim relacijama sfernog trokuta nalaze se istoimeni kutovi.

Pravokutni trokut

Neka su katete, a je hipotenuza pravokutnog sfernog trokuta ABC. To znači da tangente povučene na katete (lukove CA i CB) u točki (C) naspram hipotenuze grade pravi kut. Važe sljedeći odnosi:

Ove formule možemo dobiti iz sljedećeg Neperovog pravila:

Ako rasporedimo pet elemenata pravokutnog trokuta (bez pravog kuta) po kružnici redom kako se oni nalaze u trokutu , i zamjenimo katete s njihovim komplementarnim kutovima tada:

• kosinus svakog elementa jednak je proizvodu kotangensa dvaju njemu susjednih elemenata;

  kosinus svakog elementa jednak je proizvodu sinusa njemu suprotnih elemenata.

Na primer,

Kosinusni teorem

Neka su kutovi sfernog trokuta; su nasuprotne stranice. Tada važi:

sinusni teorem; kosinusni teorem;

Evo to mi se čini da je najvažnije spomenuti ovdje kada je riječ o sfernoj trigonometriji. Ovdje je od cetralne važnosti upravo sfera koju smo toliko puta spominjali. Ali spomenimo ovom prilikom I Kanta iz njegove Prolegomene a to je da je on zagledajući u sferu I diveći se njenoj ljepoti na koncu zapisao: “Zvjezdano nebo nadamnom, moralni zakon u meni.”