LJEPOTA MIŠLJENJA

Zlatan Gavrilović Kovač

Čitav ovaj svijet dokazom je ljepote ljudskoga mišljenja I točno je da svijet postoji kako bismo se divili vještini Svevišnjega Ravnatelja I Svedržitelja. Tu ljepotu svijeta I čovjeka otkrivamo u prirodi I proporcijama u prirodnome svijetu, u ljudskim umijećima I umjetnostima, u Univerzumu I konačno tu ljepotu pripisujemo najsavršenijem biću odnosno Bogu. I toliko je ljepote koju opažamo u tom svijetu da je pomalo neobična tvrdnja Meistera Eckharta da je čitav ljudski život I čovjek I sav svijet jedno veliko “čisto ništa”. Tu je tvrdnju u novije vrijeme obnovio Martin Heidegger koji nas je umorio dokazujući ništavnost čovjeka definirajući njega I čitavu ljudsku znanost kao jednu problematičnu silu koja mora biti dovedena u pitanje njegovom fundamentalnom ontologijom koja je o filozofiji visokoparno bulaznila na nekoliko svjetskih jezika na primjer . Tako se čitava filozofija u Hrvata rastvorila u jedno veliko Ništa možda ponajviše zahvaljujući nastojanjima naših filozofa da se Heidegger u Hrvatskoj osjeća kao kod kuće

A obično oko primjećuje taj božanski sklad na svakom koraku u svakodnevnom življenju čovjeka ako proporciju u svijetu shvatimo onim što ona doista jest a to je razmjernost ili skladnost između pojedinih dijelova neke cjeline ili odnos nekog dijela prema toj cjelini. Dakle ono što označava mjeru, veličinu ili sklad. U najljepšoj znanstvenoj disciplini kao što je metafizika I matematika ovim se pojmom označava jednakost dvaju omjera ili razmjer na primjer ako se A odnosi prema B jednako kao C prema D : onda zapisujemo A:B=C:D. Isto tako možemo govoriti o skladu ili proporcijama ljudskoga tijela ili u arhitekturi o odnosu stupova I krova neke klasične građevine .

Ja ću ovom prilikom navesti nekoliko primjera koji se meni čine jako važnima I prepoznatljivima I koji dovoljno uvjerljivo dolazuju našu tvrdnju o ljepoti prirode I ljudskoga mišljenja.

NAUTILUS I Zlatni rez

Školjka morskoga puža Nautilusa jedan je jako važan prirodni primjer logaritamske spirale. Njen rast je usko povezan sa Fibonaccievim nizom gdje je svaki broj zapravo zbroj dva prethodna broja, na primjer : 0,1,1,2,3,5,8…..a širenje njenih komora prati proporcije zlatnoga reza f=1.618. Kako Nautilus raste on gradi nove veće komore I zatvara one stare. Svaka nova komora je proporcionalno veća od prethodne za faktor koji je približan zlatnome rezu. Ako ove proporcije nacrtamo u obliku kvadrata čije su stranice jednake Fibonaccievim brojevima I spojimo ih kružnim lukovima dobijamo savršenu Fibonaccievu spiralu. Međutim se danas matematičari I biolozi slažu da stvarni primjerci Nautilusa pokazuju neke varijacije jer se njihov faktor rasta neznatno razlikuje od precizne I stroge matematičke Fibonaccieve spirale ali ostaju unutar iste obitelji logaritamskih spirala koje definira Bernoulieva jednadžba.

Nećemo ići toliko daleko u matematici I matematičkom dokazivanju nego ćemo upozoriti na tu ljepotu gradnje komora kod Nautilusa I matematičkoga objašnjenja prirode stvari

Fibonacciev niz I Zlatni rez

Fibonacciev niz je niz brojeva u kojem je svaki član zbroj dvaju prethodnih. Niz počinje sa 0 i1

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

0 + 1 = 1

• 1 + 1 = 2

  1 + 2 = 3

  2 + 3 = 5

  3 + 5 = 8 ……..

A Zlatni rez je matematička proporcija gdje je omjer približno 1:1,618. Između ovoga niza I zlatnoga reza postoji neraskidiva sveza: dijeljenjem bilo kojeg Fibonaccievog broja s prethodnim dobijeni omjer se približava zlatnome rezu, što su veći brojevi to je broj bliži broju f=1,618

Primjeri omjera:

• 2 ÷ 1 = 2,0

  3 ÷ 2 = 1,5

  5 ÷ 3 = 1,666...

  8 ÷ 5 = 1,6

  13 ÷ 8 = 1,625

  21 ÷ 13 = 1,615…..

Kada se nacrtaju kvadrati čije su stranice duljine Fibonaccievih brojeva I kada se oni poredaju spiralno dobija se oblik poznat kao zlatna spirala. Ona se često može uočiti u prirodi poput rasporeda sjemenki suncokreta, ljudske puža, ananasa ili pak u samoj strukturi galaksija

EUKLID

Drugi primjer kojega bih ja spomenuo bio bi slučaj iz Euklidove geometrije imajući na umu njegove Elemente jer je čitavo djelo Euklida dokaz te ljepote geometrijske imaginacije za koju je Heidegger napisao da je “vulgarno mišljenje” jer je tobože riječ o tradicionalnoj znanosti I tradicionalnoj metafizici koja zaslužuje samo prezir za razliku od njegovoga “novoga mišljenja” ili “mišljenja epohe” u vremenu teškoga “preboljavanja” filozofije koje više nigdje nema …..da čovjek pukne od smijeha…

Ja sam mislio pokazati ovu ljepotu ljudskoga mišljenja I imaginacije kroz problematiku geometrijske kongruencije jer mi je ona bila najbolji primjer te proporcije I skladnosti koju sam posvuda tražio.

Euklid kongruenciju ili podudarnost definira kao jednakost geometrijskih likova u ravnini. On podudarnost ne opisuje kao moderno preslikavanje , translaciju, rotaciju ili osnu simetriju već kao mogućnost preklapanja dvaju likova pri čemu se oni u potpunosti poklapaju, ne prelaze jedan preko drugoga I ne ostavljaju prazan prostor. U uvodnoj stranici Elemenata gdje su date definicije, postulati I neke važne napomene jedan od najvažnijih logičkih postulata za kongruenciju glasi : “Stvari koje se podudaraju jedna sa drugom jednake su “ I druga notacija “Cjelina je veća od dijela”. To su notacije 4 i5 u uvodnom dijelu Elemenata

Isto tako Euklid je u svoje postulate uvrstio tvrdnju da su svi pravi kutovi međusobno jednaki odnosno kongruentni. Iako nije koristio današnje oznake on je u prvoj knjizi Elemenata dokazivao osnovne kriterije po kojima zaključujemo da su dva trokuta sukladna. Među najpoznatijima su 1) ako su dvije stranice I kut između njih u jednom trokutu jednaki dvama stranicama I kutu između njih u drugom trokutu, trokuti su sukladni 2) Ako su dva kuta I stranica između njih jednaki u oba trokuta 3) Ako su sve tri odgovarajuće stranice trokuta jednake u oba trokuta...A ovi poučci služili su mu kasnije kao osnova za dokazivanje svih ostalih složenih geometrijskih teorema o trokutima I četverokutima

Ja bih samo ovdje napomenuo da je ovaj fenomen kongruencije nešto različit u neeuklidskim geometrijama I na sferi jer su kongruentni trokuti na primjer nejednaki…..

LEIBNIZ O SLOBODI

Postoji jedan spis Leibniza koji se zove O slobodi u kojem on raspravlja o matematičkoj biti beskonačnoga jer da postoje dva labirinta u kojima se zapliće ljudski duh, jedan se odnosi na spajanje ili sastavljanje kontinuuma a drugi se tiče biti slobode. I jedan I drugi izviru iz istoga vrela naime iz pojma beskonačnosti. Čovjek se zapliće u nerazriješive teškoće ako se pokuša pomiriti božja promisao sa slobodom volje . Od takvih razglabanja mora odustati jer božju biti još uvijek nismo shvatili. Pa onda Leibniz govori o metafizičkim ili geometrijskim nužnostima I o tome što znači dokazati pa uzima primjer kojega ovdje navodim : “ Ako na primjer uzmemo broj koji je umnožak od brojeva 3,6 ili 12 tj takav koji se može podijeliti sa 3, 6 i12 onda se može dokazati izreka da se svaki broj dijeljiv sa 12 može podijeliti i sa 6 . Svaki je broj 12 naime dvaput dvostruki broj 3 pa se taj broj može razriješiti u svoje prim-faktore: 12=2x2x3 a to je ujedno I definicija toga broja, svaki dvaput dvostruki broj 3 nadalje jednako je tako dvostruki broj 3, sto je identicna tvrdnja , a svaki dvostruki broj 3 napokon je broj 6 ( 6=2x3). U svakom broju 12 ima I broj 6 ( - jer 12 je isto sto I 2x2x3- I 2x2x3 dijeljiv je sa 2x3, a 2x3 jednako je 6 – dakle 12 je djeljiv sa 6) “

A onda dalje iz jednoga pisma gospodinu Varignonu iz 28. nov. 1701 godine govori o znanosti beskonačnoga koju ne treba ponižavati I koja ne gubi svoje dostojanstvo I ne svodi se na fikcije jer uvijek ostaje neko “sinkategorematičko beskonačno” kao nešto što dalje opstoji . I onda piše: “Tako na primjer uvijek ostaje ispravno da je 2 jednako 1kroz 1 +1kroz2+1kroz4+1kroz8+1kroz16+1kroz32…..to jest jednako je beskonačnom redu koji u sebi sadržava sve razlomke kojih je brojnik 1 a nazivnici napreduju geometrijskom progresijom. Unatoč tome u tome nizu javljaju se samo obični brojevi I kao takvi se primjenjuju te se nikada ne pojavljuje beskonačno mali razlomak kojeg bi nazivnik bio neki beskonačan broj. I imaginarni korijeni imaju svoj fundamentum in re. Kada sam na primjer pokojnoga gospodina Huygensa na to upozorio da je kvadratni korijen od 1 + kvadratni korijen -3+kvadratni korijen1-kvadratni korijen -3 jednako kvadratni korijen 6 on je našao da je to tako čudesno te mi je odgovorio da u tome ima nešto što mi ne razumijemo . Jednako se tako može reći da su beskonačno I beskonačno malo tako čvrsto utemeljeni da se svi rezultati u geometriji , štoviše da se svi događaji u prirodi tako ponašaju kao da su jedno I drugo savršeni realiteti.” I onda Leibniz zaključuje da je kontinuitet uopće nešto idealno I da u prirodi nema ničega što bi imalo savršeno jednake dijelove. Zbog toga idealno I apstraktno I potpuno vladaju realnim , pravila konačnoga zadržavaju svoju vrijednost I u beskonačnom I obrnuto pravila beskonačnog vrijede I za konačno . “ Jer sve se podvrgava vladavini uma, pa inače ne bi bilo znanosti ni zakona čemu bi se pak protivila priroda najvišega načela.”

SLUČAJ DARWINA

Slijedeći slučaj je slučaj Darwina koji je u svojem radu Postanak vrsta pisao o Instinktima kod pčela medarica da grade saće a ja sam u svojoj Kozmologiji zlatnoga prstena to nazvao djelovanjem kozmički nesvjesnoga I to na sva živa I neživa bića na planeti dakle da vrijedi I za takozvanu neorgansku materiju pa sam uzeo primjer teoriju Geine sintetičke sile koja je nastala kao zapis kojega sam vodio danima promatrajući zvjezdano nebo I meteorološke fenomene vezane za astronomska događanja . Kod Darwina je to pokriveno pojmom instikata a onda je cijelo poglavlje svoje knjige Postanak vrsta posvetio insektima I proučavaju instikata. I uzeo je kao primjer I pčelinju gradnju saća I slučaj pčele Melipona koja ako bi pravila svoje lopte ili saće na izvijesnom određenom odstojanju jedne od drugih I iste veličine I ako bi ih poredala simetrično u dva kata onda bi takva građa bila isto tako savršena kao I saće pčele medarice. Evo do čega je Darwin došao: “Ako se nacrta izvijestan broj jednakih lopti tako da su im centri postavljeni u dvije paralelne ravni (kata) I ako je centar svake lopte na odstojanju prečnika x kvadratni korijen od 2 ili prečnik x 1,41421 ( ili nešto manje odstojanje) od centra šest okružujućih lopti u istoj ravni ( katu) I ako je na istom odstojanju od centara susjednih lopti u drugoj I paralelnoj ravni ( katu), onda ako se sagrade ravni sečenja između više lopti u oba kata, proiziće dvojan kat šestostranih prizama spojenih među sobom piramidalnim osnovama sagrađenim od tri romba, a rombovi I strane šestostranih prizama imaće potpuno iste kutove kakve nalazimo pomoću najboljih mjerenja kod čelija pčele medarice. Ali saznajem od prof. Vajmana koji je vršio mnogobrojna marljiva merenja da se veoma preteralo u pogledu točnosti pčelinjega rada, toliko mnogo da ma koji oblik ćelije da je tipičan on biva retko ili čak I nikada ostvaren”.

Meni je interesantna ta proporcija , ta skladnost pčelinjih saća bez obzira što se njihova gradnja nešto razlikuje od idealne ali se slažem sa Leibnizom da u prirodi nema ničega što bi bilo savršeno. Ali je svejedno lijepo!

TITUS-BODEOVA FORMULA

I konačno ja bih uzeo primjer iz astronomije gdje se u skladnosti I ljepoti planetarnih kretanja očituje sva ljepote ljudskoga mišljenja I to na primjeru Titus-Bodeove formule

Prvo trebam otpočeti sa Keplerom kod kojega se njegov astronomski rad I njegovo djelo odnosilo na egzistenciju 6 planeta, a to je bio broj planeta poznat 1596 godine, I na razmatranje distancije tih planeta od centralnoga Sunca. On je povezao planetarne orbite sa 5 regularnih polihedra ili Platonovih figura postavljajući određeni polihedron između svakog sukcesivnoga para sfere definirane orbitama planeta. I on je bio jedan od prvih znanstvenika koji su razmatrali numeričke parametre solarnoga sustava. Ali je 1766 godine Johann D.Titus, njemački matematičar I astronom pronašao začuđujući jednostavan obrazac koji se odnosio na planetrna kretanja I distancije planeta I njihovih odnosa. On je otpočeo sa sekvencijom brojeva 0,3,6,12,24,48,96,192,384,768……… u kojoj je svaki broj iznad 3 trebao poduplati prethodni broj. Dodavajući 4 svakom ovom broju I onda ga dijeleći sa 10 on je dobio novu sekvenciju brojeva koja je svaka reprezentirala prosječnu distanciju poznatih planeta od Sunca u relaciji prema prosječnoj distanciji Zemlje od Sunca. Za mnoge od njih ovi brojevi koje je dobio korespondirali su vrlo blizu izmjerenom ratiu. A onda je 1772 godine Johann Eilert Bode sa Berlinske opservatorije te rezultate usavršio I učinio dostupnima široj čitateljskoj publici . Ova je Titus -Bodeova formula dobila na posebnom značaju kada je otkriven planet Uran kojemu je orbita prosječne distancije od Sunca bila razumno blizu ovoj formuli koja je predviđala da bi tako trebalo biti. Ta je formula imala jos značenje u razmatranju orbita prvih asteroida koji su imali signifikantan broj u sekvenciji koja je prvobitno bila bez korespondirajućega nebeskoga tijela. Ali je propala jer nije producirala točne relativne distancije za vanjske planete kao što su Neptun I Pluton kada su ovi planeti bili otkriveni. Ali je ta formula I danas interesantna jer postavlja pitanja numeričkih odnosa u našem solarnom sustavu

I da li postoji nešto što je onda u svezi sa dinamikom I stabilnosti našega sunčevoga sustava.

I ta formula izgleda ovako:

Merkur distancija AU 0.39 T-B frormula (0+4)/10=0.4 AU

Venera 0.72 (3+4)/10=0.7

Zemlja 1.00 (6+4)/10=1.0

Mars 1.52 (12+4)/10=1.6

? - (24+4)/10=2.8

Jupiter 5.20 (48+4)/10=5.2

Saturn 9.54 (96+4)/10=10.0

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Uran 19.19 (192+4)/10=19.6

Neptun 30.06 (384+4)/10=38.8

Pluton 39.53 (768+4)/10=77.2

Titus-Bodeova formula ovdje pokazuje približne relativne distancije planeta od centralnoga Sunca. Međutim diskrepancija između kalkuliranih I aktualnih vrijednosti postaje jako značajna za tri vanjske planete. To su ove planeta ispod isprekidane linije . A te su planete otkrivene nakon Tituisova prijedloga njegove formule iz 1766 godine. Jedna astronomska jedinica AU korespondira prosječnoj distanciji između Sunca I Zemlje.

I na kraju ovoga teksta htio bih reći da su ovi primjeri I još I drugi naravno bili od najveće važnosti za formulaciju moje teorije o kozmički nesvjesnom kako je ona tumačena u mojoj Kozmologiji zlatnoga prstena kao I u mojoj Teoriji Geine sintetičke sile koja je bila potkrijepljena događajima u Australiji I Pacifiku iz januara, februara I marta 2011 godine . Hvala!