DESCARTESOVA ANALITIČKA GEOMETRIJA

Zlatan Gavrilović Kovač

Moram priznati da nikada nisam bio neki poseban stručnjak iz područja matematike I geometrije. Štoviše mogao bih reći da mi je matematika jako loše išla u srednjoj školi. Ali sam u trećem razredu Pomorske škole u Splitu neobično sa udivljenjem pratio predavanja iz analitičke geometrije I sferne trigonometrije. S obzirom da je prema nastavnim planovima za srednju pomorsku školu bilo predviđeno da studenti moraju jako dobro poznavati analitičku I sfernu geometriju. Ne mogu osporiti da sam veliku ljubav prema astronomiji osjetio upravo kroz pitanja ovih geometrija. Kasnije smo u četvrtome razredu razmatrali pitanja astronomije I astronomske navigacije koja su imala direktve veze sa prethodnim geometrijskim naobrazovanjem.

Ja ću sada ukratko razmotriti ova pitanja kako sam ja shvatio te dvije geometrije koje su neobično mnogo značile za moje razumijevanje astronomije I astronomske problematike

Geometrija se bavi definicijom pojmova krivulja, površina,

čvrstih tijela, ploha, tangenta, tangencijalna ravnina, evoluta i evolventa, izračunom

zakrivljenosti, duljine luka, površine i volumena. Od interesa za nju je određivanje

oblika određenih krivulja, površina ili čvrstih tijela zbog geometrijskih ili fizičkih

zahtjeva. Na primjer, promatrajući probleme loksodroma, lančanica ili brahistokrona (krivulje na kojima se točka mase pod utjecajem gravitacije kreće od točke A do točke B ispod nje u najkraćem mogućem vremenu), ravnotežne figura rotirajućih masa itd., prva pitanja koja se bave maksimumima ili minimumima funkcija bila su geometrijske prirode. To su tako nekako stručno opisali J. Scriba I Peter Schreiber u svome radu 5000 years of geometry. Za nas je važno da spomenemo tu problematiku koordinatnih metoda I sveze geometrije I algebre s obzirom na analitičku geometriju. Ja sam se uvijek divio tome geometrijskome jeziku I sposobnosti da se geometrijske figure predstave algebarskim odnosima. To me uvijek duboko fasciniralo.

Koordinatna metoda – geometrija i algebra

Koordinatni sustav (u svom najopćenitijem smislu) uvijek postiže dvije stvari: Prvo, olakšava algebarsku obradu geometrijskih problema tako što nam omogućuje da teoreme i probleme o geometrijskim objektima prevedemo u ekvivalentne teoreme i probleme putem njihovog formiranja koordinata i – tako reći – računske simulacije geometrijskih procesa. Dakle, unutar

temelja matematike od početka istraživanja, postoji mogućnost

demonstriranja pouzdanih modela temeljenih na algebri i aritmetici

za aksiomatski karakterizirane geometrijske strukture. Drugo, koordinatni

sustav olakšava ilustraciju i optički prikaz algebarskih činjenica.

Na taj način ne samo da ključno podržava intuiciju, već i pruža uvide

u određene razvojne faze matematike, koje bi inače

predstavljale nedostižne algebarske odnose. Najvažnije je da je veza

između moguće vrlo apstraktnih funkcionalnih odnosa (kao što su između ekonomskih, znanstvenih ili tehničkih veličina) i (dvodimenzionalne ili trodimenzionalne)

grafičke slike relevantne funkcije

"plod" ove "inverzne primjene" koordinatne metode. S

današnjeg gledišta, ovo ispreplitanje geometrijskih i algebarskih metoda

preduvjet je i jezgra da matematika bude sposobna i učinkovita.

Najlakši i najkraći odgovor na pitanje o podrijetlu koordinatne metode dobro je poznat. Kaže se da potječe od Renéa Descartesa i Pierrea de Fermata, koji su se gotovo istovremeno i u biti neovisno jedan od drugoga složili 1637 godine kada je objavljena Descartesova Geometrija da bi upravo ta godina 1637. trebala biti važna godina nastanka analitičke geometrije.

Međutim, stari Grci su već

svaku izvornu definiciju krivulje pretvarali u ekvivalentno ograničenje pomoću "algebarskog" odnosa između određenih varijabli i određenih

fiksnih (ovisnih o pripadajućim dijelovima krivulje) veličina (uglavnom

dužina, ali ponekad i površina, kutova,...), tj. "simptoma"

relevantne krivulje. Jasno je da je takozvana geometrijska algebra starih Grka uglavnom služila svrsi rada s takvim simptomima i rješavanja problema ili provjere teorema na temelju ove pretpostavke. Nadalje, rijetki primjeri koje je pružio antički svijet pokazali su kao iskustvenu činjenicu da krivulju u ravnini normalno karakterizira simptom

s točno dvije varijable, dok simptom površine u prostoru zahtijeva

tri varijable. Međutim, antička geometrijska algebra bila je ograničena, budući da se

množenje količina – izraženo na moderan način – smatralo

geometrijski ostvarenim tek sa Kartezijevim produktom.

To je stručno bismo mogli reći glavna ideja analitičke geometrije, da se geometrijske metode isprepliću sa algebarskim I da se mogu predstaviti jedne u druge.

Razmotrimo sada sustav koordinatnih osi , hozizontalnu I vertikalnu mrežu postavljenu na ravninu koja daje numeričke odnose svakoj točki na dvodimenzionalnoj površini . Horizontalna os, takozvana x-os ima brojčanu skalu koja se povečava prema desno, a vertikalna os, takozvana y-os ima skalu koja se povećava prema gore. Pomoću njih moguće je kretati se naprijed-natrag između geometrijske točke I njenih numeričkih koordinata. I sada vidimo da algebarska jednadžba generira geometrijsku krivulju . Ova veza između algebre I geometrije čini se sasvim prirodnom. Stoga je iznenađujuće da je tek nedavno nastala. Dok euklidska geometrija bez algebre datira više od 2000 godina ova analitička geometrija nije starija od 4 stoljeća. Tema se pojavila kao I mnoge matematičke inovacije u 17 stoljeću kod Descartesa I Fermata ali prvenstvo prirpada Descartesu. Godine 1637 Descartes je napisao opsežno djelo pod nazivom Rasprava o metodi, svojevrsni filozofski putokaz za novu znanstevnu revoluciju I novo mišljenje . Tom traktatu kao naknadnu misao priložio je dodatak pod naslovom Geometrija. Descartes je tu zapisao: “ Svaki se problem geometrije lako može svesti na takove pojmove da je poznavanje duljina određenih pravaca dovoljno za njihovu konstrukciju… I neću oklijevati uzeti te aritmetičke pojmove u geometriji”

Do tada prazna euklidska ravnina na kojoj su idealizirani oblici igrali svoje geometrijske uloge sada je bila preplavljena brojevima – Descartesovim “aritmetičkim pojmovima” koji mjere njihove dužine I označavaju njihove položaje.

Nažalost večini čitatelja Geometrija nije bila laka. Čak ie I Newton priznao da isprva nije mogao razumjeti Descartesovu metodu. Ako je Newton imao poteškoća onda je lako zamisliti nevolje u kojima su se našli manje nadareni učenici. Tipična za Descartesa bila je njegova opomena cijenjenom čitateljstvu : “Neću se zaustaviti da ovo detaljnije objasnim jer bih vam uskratio zadovoljstvo da to sami savladate...Ovdje ne nalazim ništa toliko teško da to ne može riješiti netko tko je upoznat s običnom geometrijom I algebrom.” Descartes je bio posebno izravan kada je Mersenneu opisao svoju knjigu :” Izostavio sam niz stvari koje bi je mogle učiniti jasnijom, ali sam to učinio namjerno I ne bih htio drugačije.” On je naime držao da se implicitna filozofija I jasnoća trebaju izbjegavati u matematičkom izlaganju. Srećom su drugi uspjeli preoblikovati te ideje u razumljive pojmove kao što je na primjer napravio Frans van Schooten (1615-1660) iz Amsterdama u svojoj Geometriji . Naime teškoća se sastoji u tome da predmet koji se proučava nije identičan modernome shvaćanju. U Descartesovo vrijeme osi nisu uvijek bile crtane okomito jedna na drugu. Ponekad se y-os uopće nije crtala a odbojnost prema negativnim vrijednostima često se ograničavala samo na rad gornjega desnoga područja ravnine, takozvanog prvoga kvadranta gdje su iX iY pozitivne koordinate. Kasnije je Newton na primjer dao I svoj doprinos analitičkoj geometriji jer je analizirao I pomno grafički prikazao 72 različite vrste jednadžbi trećega stupnja.

Od samoga početka bilo je očito da analitička geometrija ima dvije važne ali suprotne teme. U jednoj se algebra koristi u službi geometrije a u drugoj se geometrija koristi u službi algebre. Promatrane zajedno one stvaraju svojevrsnu matematičku simbiozu u kojoj svaki aspekt problema ima koristi od svoga odnosa prema drugome. Descartes je bio sklon započeti sa geometrijskim problemom I primijeniti algebarske tehnike kao bi došao do riješenja . Za njega su relativno moderne ideje simboličke algebre mogle riješiti pitanja iz stoljetno starih tema euklidske geometrije.

Drugi je poticaj donekle tipičniji za Fermata jer je on započeo sa algebarskim izrazom I koristio ga je za generiranje geometrijskoga lika na ravnini. Fermat je imao ovaj pristup na umu kada je zapisao: “ Kada god se u konačnoj jednadžbi nađu dvije nepoznate veličine imamo lokus, kraj jedne od njih koji opisuje liniju , ravnu ili zakrivljenu “ Ovaj Fermatov uvid kasnije je omogućio matematičarima da generiraju nove krivulje po volji jednostavnim crtanjem točaka sve složenijih jednadžbi. Prije pojave analitičke geometrije priroda krivulja bila je ograničena na one koje se pojavljuju “prirodno”. Matematičari su bili upoznati sa krugovima elipse I spirale jer su one imale porijeklo u dobro poznatim geometrijskim problemima. Ali smišljajući neobične jednadžbe matematičari su generirali krivulje koje se uvijaju u dotada neviđene oblike preko x-y ravnine. Usvajanjem ovoga većega repertoara krivulja stekli su uvide koji će se pokazati bitnima u razumijevanju njezinih algebarskih svojstava. Geometrijski dijagrami motivirali su rasprave o diferencijalnom I integralnom računu I imali su istaknuto mjesto u razvoju Newtonove metode. Pa onda Cardana I drugih sve do najnovijih teoretičara kao što je to suvremeni William Dunham I ostali. Postoje mnogi primjeri koji bi se mogli pridati potpori analitičke geometrije. Jedan takav primjer dao je I već spomenuti Dunham koji je dao značajne matematičke dokaze algebarske prirode specifičnih krivulja. I on kaže da je ovo krasno područje za proučavanje takozvanih konika : elipse, parabolje, hiperbole . Unutar okvira x-y osi ove se figure puno lakše razumiju nego tretiranjem, na grčki način, kao različiti presjeci stožaca.

I mi bismo na kraju svoje udivljenje analitičkom geometrijom mogli zaključiti da je ovaj spoj geometrije I algebre najsretniji oblik jedinstva u cijeloj povijesnici matematike pa onda nije čudno da I sasvim bezazleni studenti koji nemaju velikoga znanja o matematičkim problemima ostaju zadivljeni pred ovom zgradom matematičke apriornosti I znanstvenoga predviđanja.