LAPLACE O STABILNOSTI SOLARNOGA SUSTAVA

Zlatan Gavrilović Kovač

Stabilnost Sunčevog sustava

Sir Isaac Newton objavio je svoje djelo Philosophiae Naturalis Principia Mathematica 1687. godine u kojem je iz svojih zakona gibanja i zakona univerzalne gravitacije izveo Keplerove zakone, koji opisuju gibanje planeta. Međutim, iako je Newton razvio metode računa, sva njegova objavljena djela koristila su glomazno geometrijsko razmišljanje, neprikladno za objašnjenje suptilnijih učinaka interakcija višeg reda između planeta. Sam Newton sumnjao je u mogućnost matematičkog rješenja cjeline, čak je zaključio da je periodična božanska intervencija potrebna kako bi se jamčila stabilnost Sunčevog sustava. Odbacivanje ili prihvaćanje hipoteze o božanskoj intervenciji bila je glavna aktivnost Laplaceovog znanstvenog života. Danas se općenito smatra da Laplaceove metode same po sebi, iako ključne za razvoj teorije, nisu dovoljno precizne da bi pokazale stabilnost Sunčevog sustava; Danas se smatra da je Sunčev sustav općenito kaotičan na finim skalama, iako je trenutno prilično stabilan na grubim skalama.

Jedan poseban problem promatračke astronomije bila je prividna nestabilnost pri kojoj se činilo da se Jupiterova orbita smanjuje dok se Saturnova širi. Problemom su se pozabavili Leonhard Euler 1748. i Joseph Louis Lagrange 1763., ali bez uspjeha. Godine 1776. Laplace je objavio memoare u kojima je prvi istražio moguće utjecaje navodnog luminifernog etera ili zakona gravitacije koji nije djelovao trenutno. Na kraju se vratio na Newtonovu gravitaciju.Euler i Lagrange napravili su praktičnu aproksimaciju ignorirajući male članove u jednadžbama gibanja. Laplace je primijetio da iako su sami članovi mali, kada se integriraju tijekom vremena mogu postati važni. Laplace je svoju analizu proveo na članove višeg reda. Koristeći ovu precizniju analizu, Laplace je zaključio da bilo koja dva planeta i Sunce moraju biti u međusobnoj ravnoteži i time je pokrenuo svoj rad na stabilnosti Sunčevog sustava.

Velika nejednakost Jupiter-Saturn

Laplace je 1784., 1785. i 1786. godine predstavio memoare o planetarnim nejednakostima u tri dijela. Oni su se uglavnom bavili identifikacijom i objašnjenjem perturbacija danas poznatih kao "velika nejednakost Jupiter-Saturn". Laplace je riješio dugogodišnji problem u proučavanju i predviđanju kretanja ovih planeta. Općim razmatranjima pokazao je, prvo, da međusobno djelovanje dvaju planeta nikada ne može uzrokovati velike promjene u ekscentričnosti i nagibima njihovih orbita; ali onda, još važnije, da su se osobitosti pojavile u sustavu Jupiter-Saturn zbog gotovo sumjerljivosti srednjih gibanja Jupitera i Saturna.

U ovom kontekstu sumjerljivost znači da je omjer srednjih gibanja dvaju planeta gotovo jednak omjeru između para malih cijelih brojeva. Dva razdoblja Saturnove orbite oko Sunca gotovo su jednaka petima Jupiterovim. Odgovarajuća razlika između višekratnika srednjih gibanja, (2nJ − 5nS), odgovara razdoblju od gotovo 900 godina i javlja se kao mali djelitelj pri integraciji vrlo male perturbacijske sile s istim razdobljem. Kao rezultat toga, integrirane perturbacije s ovim razdobljem su nesrazmjerno velike, oko 0,8° stupnja luka u orbitalnoj dužini za Saturn i oko 0,3° za Jupiter.

Daljnji razvoj ovih teorema o planetarnom gibanju dan je u njegova dva memoara iz 1788. i 1789., a uz pomoć Laplaceovih otkrića, tablice gibanja Jupitera i Saturna konačno su mogle biti mnogo točnije. Na temelju Laplaceove teorije Delambre je izračunao svoje astronomske tablice.

Samo ukratko bih napomenuo da se Laplace bavi ovom problematikom još od njegovoga rada iz 1794 godine poznatog na engleskom kao Exposition of the World System I to posebno u njegovoj Trećoj knjizi pod naslovom O Zakonima kretanja I to u poglavljima 1 do 5 pa tako tu raspravlja o silama, njihovom sastavu i ravnoteži matrijalne točke ili o ravnoteži sustava tijela. I on tu zapisuje da je najjednostavniji slučaj ravnoteže između nekoliko tijela onaj kada se dvije materijalne točke susreću jednakim I izravno suprotnim brzinama. Njihova međusobna neprobojnost , to svojstvo materije koja spečava da dva tijela zauzmu isto mjesto u istom trenutku, očito poništava njihove brzine I svodi ih na stanje mirovanja. Ali ako dva tijela različitih masa sudaraju jedno o drugo suprotnim brzinama kakav odnos postoji između brzina I masa u slučaju ravnoteže. Pa onda Laplace razmatra ovaj problem u nastavku I smatra da se jednakost između akcije I reakcije očituje u svim prirodnim radnjama. Željezo privlači magnet kao I obrnuto, isto se opaža kod električnih privlačenja I odbijanja pa čak I kod razvoja sila kod životinja jer kakve god bile, priroda primarne pokretačke sile kod ljudi I životinja zbog reakcije materije doživljava silu jednaku I suprotnu onoj koju joj prenose i s ove točke gledišta podliježu istim zakonima kao I naživa bića. ( str.257) Svaka materijalna točka na istom mjestu na Zemlji teži gibanju istom brzinom djelovanjem gravitacije . Stoga možemo bez ikakvoga straha od pogreške pretpostaviti homogenost elemenata materije pod uvjetom da pod jednakim masama podrazumijevamo mase koje, budući da ih pokreću jednake I izravno suprotne sile, čine ravnotežu. Postoje dva stanja ravnoteže koja se bitno razlikuju . U jednom ako je ravnoteža malo poremećena sva tijela sustava vrše samo male oscilacije oko svoga prvobirnoga položaja I tada je ravnoteža čvrsta ili stabilna. Ta je stabilnost apsolutna ako se postiže bilo kakvim oscilacijama sustava, samo je relativna ako se postiže samo s obzirom na oscilacije određene vrste. U drugom stanju ravnoteže, kada je sustav poremećen tijela sve više odstupaju od svoga prvobitnoga položaja. Pa onda Laplace zaključuje: “ this being premised in the case of equilibrium the sum of the products of each force into the quantity by which the point to which it is applied advances in its direction, is equal to cypher , and conversely if this sum is equal to cypher, whatever my be the variatio of the system, it is in equilibrio. “ (266)

I onda je Laplace napravio hvalospjev nebeskoj mehanici I po tome je blizak Boškoviću. Ali je Boškoviću blizak I po načinu razmatranja spomenute problematike stabilnosti solarnoga sistema jer I Bošković ranije još 1758 godine raspravlja o sličnim pitanjima kada raspravlaj pitanja središta gravitacije u zavisnosti od masa tijela pa on kako sam kaže “vrlo uspješno I posve pojmljivo” dokazuje slavni Newtonov poučak o mirovanju središta gravitacije koje nikada ne mogu poremetiti unutarnje uzajamne sile. I Mi vidimo da je I kod Kanta I kod Laplacea I kod Boškovića prisutna jedna jako važna ideja I ovaj optimizam znanosti I astronomije I metafizike nikako ne bi trebalo izgubiti iz vida naime da iz ovoga savršenoga slaganja I ljepote, u svrhe takvih stvari koje se donekle nalaze izvan opsega mrtve materije, spoznajemo zajednički izvor, a to je naime beskonačni Razum u kojem su bitna svojstva svih stvari zacrtana odnosom. Jer Bog je upravo zbog toga da sama priroda u kaosu postupa ne drugačije nego pravilno I uredno.